Operaciones con
números binarios[editar]
Suma
de números binarios[editar]
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la
siguiente posición de la izquierda (acarreo).
Esto es equivalente en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la
posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.
Ejemplo
1
10011000
+ 00010101
———————————
10101101
Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal,
resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario.
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en
nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado
y llevamos1 (este "1" se llama acarreo o arrastre).
A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y
seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).
Resta
de números binarios[editar]
El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el
sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para
comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen
en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
- 0 - 0 = 0
- 1 - 0 = 1
- 1 - 1 = 0
- 0 - 1 = 1 (se
transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una
unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1 (este valor se resta al
resultado que obtenga, entre el minuendo y el sustraendo de la siguiente
columna), lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.
Ejemplos
10001 11011001
-01010 -10101011
—————— —————————
00111 00101110
En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores
hay varios métodos:
- Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo,
vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001
1101
-010101110010 -0101 -0111
-0010
————————————— =
————— ————— —————
010000101011 0100 0010
1011
- Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse
sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.
Ejemplo
La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:
1011011
1011011
-0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010
————————
————————
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda.
Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit
sobrante se desprecia.
Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y
utilizando el complemento a dos:
11011011
11011011
-00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001
————————— —————————
11000100
111000100
Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al
resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.
- Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al
minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que
se desborda.
Producto
de números binarios[
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a
cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y
el 1 es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:
10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se
utiliza el método llamado algoritmo
de Booth.
11101111
111011
__________
11101111
11101111
00000000
11101111
11101111
11101111
______________
11011100010101
División
de números binarios[editar]
La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las
restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.
Ejemplo
Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 /1101 = 010101
-0000
———————
10001
-1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
SISTEMA OCTAL
(SUMA)
Este sistema solo
puede trabajar con los números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
LA RESTA DEL
SISTEMA OCTAL
MULTIPLICACIÓN EN
SISTEMA OCTAL
DIVISIÓN EN
SISTEMA OCTAL
Operaciones en Sistema Hexadecimal
En el sistema hexadecimal, al igual que en el
sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas operaciones
matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema
hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento
a 15 o también utilizando el complemento
a 16. Además de éstas, debemos manejar
adecuadamente la suma en sistema hexadecimal, explicada a continuación:
Hexadecimal
|
Decimal
|
A
|
10
|
B
|
11
|
C
|
12
|
D
|
13
|
E
|
14
|
F
|
15
|
Suma
·
9 + 7 = 16 (16 – 16 = 0 y nos llevamos 1)
En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el
15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida
será 10 (sistema hexadecimal).
Hay que
tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con
letras y números puede crear confusiones.
·
A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)
Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.
·
A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)
La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que
tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 14 (sistema
hexadecimal).
Hay que
tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con
letras y números puede crear confusiones.
·
F + E = 29 ( 29 – 16 =D y nos llevamos 1)
La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que
tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 1D (sistema
hexadecimal).
Hay que
tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con
letras y números puede crear confusiones.
·
Ahora haremos una operación más complicada:
·
A + 2 = 12 (12 corresponde a C)
Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una
calculadora científica.
Resta
hexadecimal
Complemento
C15
Podemos
hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15.
Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del
sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).
Para
entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es
la resta que tenemos que resolver:
A4FC9
- DE8
—————————
¿?¿?¿?¿?
Primero
tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de
números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.
A4FC9
- 00DE8
—————————
¿?¿?¿?¿?
Después,
crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo
sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el
15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como
números tiene el sustraendo.
FFFFF
- 00DE8
—————————
FF217
La
resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia
obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a
cada letra al operar.
Ahora
tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en
sistema hexadecimal, mencionada anteriormente.
A4FC9
+ FF217
—————————
1A41E0
Con la
suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás
dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales
que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este
caso, el 1) y sumarlo.
A41E0
+ 1
—————————
A41E1
La
respuesta es A41E1.
