2.1.1
Conjunto universo, vacío
-Conjunto
Vacío- Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío o conjunto
nulo lo que denotamos por el símbolo Æ. Por ejemplo:
Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B. A Ç B= { } El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío o nulo y se puede representar como: A Ç B=Æ
-Conjunto Universo-
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestra). Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U= {1, 2, 3, 4, 5} Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: • Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N= {1, 2, 3,....} • Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} • Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q • Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. • Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión. Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{X/x Î N; x<60} En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60. Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente: {X/x Î Z; -20 £ x £ 30}
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo L= {1, 3, 4, 6, 9} P= {x/x Î N; X Ï L} En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.
Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B. A Ç B= { } El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío o nulo y se puede representar como: A Ç B=Æ
-Conjunto Universo-
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestra). Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U= {1, 2, 3, 4, 5} Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: • Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N= {1, 2, 3,....} • Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} • Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q • Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. • Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión. Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60. Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{X/x Î N; x<60} En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60. Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente: {X/x Î Z; -20 £ x £ 30}
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo L= {1, 3, 4, 6, 9} P= {x/x Î N; X Ï L} En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.
2.1.2 Números
naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios
Los números naturales
Los números
naturales (o que
contamos) son 1, 2, 3, 4, 5, etc. Hay infinitamente muchos
números naturales. El conjunto de números
naturales es algunas veces escrito como N como abreviatura.
La suma de
cualesquiera dos números naturales es también un número natural (por ejemplo, 4
+ 2000 = 2004), y el producto de cualesquiera dos números naturales es un
número natural (4 × 2000 = 8000). Aunque esto no es verdadero para la resta y
la división.
Los enteros
Los enteros son el conjunto de números reales que
consiste de los números naturales, sus inversos aditivos y cero. El conjunto de
enteros es algunas veces escrito como J o Z como abreviatura. La suma, producto, y
diferencia de cualesquiera dos enteros también es un entero
Los números racionales
Los números
racionales son
aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos
enteros. Por ejemplo, las fracciones 1/3 y –1111/8 ambas son números
racionales. Todos los enteros están incluidos en los números racionales, ya que
cualquier entero z puede ser escrito como la relación z/1.
Todos los
decimales que terminan son números
racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.) Los decimales que
tienen un patrón repetitivo después de
algún punto también son racionales
Los números reales
Los números reales es el conjunto de números que
consiste de todos los números racionales y de todos los números irracionales.
Los números reales son “todos los números” en la recta numérica. Hay
infinitamente muchos números reales así como hay infinitamente muchos números
en cada uno de los otros conjuntos de números. Pero, puede probarse que el
infinito de los números reales es un infinito muy grande.
Números Imaginarios o Complejos
Los números complejos son el
conjunto {a + bi | a y b son
números reales}, donde i es la unidad imaginaria,
–1.
Los números complejos incluyen el conjunto de los números reales. Los números reales, en el sistema complejo, son escritos en la forma a + 0i = a, un número real.
Este conjunto es algunas veces escrito como C como abreviatura. El conjunto de los números complejos es importante porque para cualquier polinomio p(x) con coeficientes de números reales, todas las soluciones de p(x) = 0 estarán en C.
Los números complejos incluyen el conjunto de los números reales. Los números reales, en el sistema complejo, son escritos en la forma a + 0i = a, un número real.
Este conjunto es algunas veces escrito como C como abreviatura. El conjunto de los números complejos es importante porque para cualquier polinomio p(x) con coeficientes de números reales, todas las soluciones de p(x) = 0 estarán en C.
http://www.estructurayprogramacion.com/materias/matematicas-discretas-i/n%C3%BAmeros-naturales-enteros-racionales-reales-e-imaginarios/
2.1.3 Subconjuntos
Sean
los conjuntos A= {0, 1, 2, 3, 5, 8} y B= {1, 2, 5}
En
este caso decimos que B está contenido en A, o que B es subconjunto de A. En
general
Si A
y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si
todo elemento
De B
lo es de A también.
Por
lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B A. Si B no es subconjunto
de A se
Indicará
con una diagonal .
Note
que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos
2.1.4 Conjunto
potencia
Dado
un conjuntos, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota
por P(S) o 2s
) Al
conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en
los Axiomas
De
Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el
axioma del conjunto
Potencia.
Por
ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ },
{a}, {b}, {c}, {a,
B},
{a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
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