Inducción matemática
La inducción matemática es un método de
demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar
que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad:
consta de dos pasos:
- Primero, se demuestra que el 1 cumple la
propiedad.
- A continuación, se supone que la propiedad es
verdadera para un cierto número n (arbitrario) y se demuestra para el
número siguiente, el n+1.
Si se consigue, esto demuestra la propiedad que
queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de
fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae
(primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es
cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es
muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple el
siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.
Este método es mucho más general de lo que pueda
parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para
todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la
afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n",
que se refiere a todos los números naturales y es equivalente a la inicial. De
la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo sobre una cantidad
finita de cosas porque la misma idea de las fichas de dominó es aplicable; en
este caso se suele llamar "inducción finita", y es un caso particular
de la inducción que se ha explicado arriba. Pueden, de manera similar,
demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números a partir del 8 cumplen
tal cosa", y éstos son sólo ejemplos simples. El método de inducción es a
la vez muy potente y muy intuitivo, y puede aplicarse en una gran variedad de
problemas.
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