Lógica de predicados
La lógica matemática es una parte
de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio
matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las
matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias
de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas
formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas
de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica de predicados estudia
las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la
estructura interna de las proposiciones. Se tomara como elemento básico los
objetos y las relaciones entre dichos objetos. Es decir, se distingue:
- Que se afirma(predicado o relación)
- De quien se afirma(objeto)
Definimos a continuación las reglas sintácticas
para construir fórmulas:
Definición 1: El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:
•Conjunto de Símbolos de Variables (VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo:
Definición 1: El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:
•Conjunto de Símbolos de Variables (VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo:
•Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este
conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas, también
utilizaremos subíndices: 
•Conjunto de letras de función (FUNC):
Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subíndices
para poder diferenciar las funciones: 
•Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se
representan mediante letras mayúsculas, 
Símbolos de conectivas:
¬ = Negación
∨= Conectiva
“o”
∧ = Conectiva
“y”
→ = implicación
↔ = Doble implicación o equivalencia
Cuantificadores:
∃=existencial
∀=Universal
EJEMPLOS:
1.- Todo número es imaginario.
∀(x)(N
(x)→I(x)) se lee: “Para todo x tal que x es un
numero entonces x es imaginario“
- Recuerda que x puede tomar cualquier valor.
2.-Algun número no es par.
∃(x) (N (x)∧¬P(x)) se lee: “existe un x tal
que x es un número y no es par”
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CUANTIFICADORES
Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.
Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:
P(x) = x es menor que dos
Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.
En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.
Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:
Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.
Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:
P(x) = x es menor que dos
Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.
En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.
Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:
Que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos”
Mientras que
Se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos”
El símbolo
(para todo…) se denomina
cuantificador universal, y el símbolo 
(existe al menos un…) se
denomina cuantificador existencial. Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad.
Los cuantificadores más utilizados son entonces:
- CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…): se
utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con
una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:
- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (existe al menos
un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el
conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.
- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO
(existe un único…):
se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto
A que cumple con una condición o propiedad determinada.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:
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Representación y evaluación de Predicados
En el Cálculo de Predicados se usan varios tipos de
símbolos:
- SÍMBOLOS DE FUNCIÓN: Funciones que definen
nuevos individuos en términos de los previamente conocidos
Ejemplos:
Mas (x, y)
padre (x)
padre (x)
- SÍMBOLOS DE PREDICADOS: Predicados que
describen un conjunto de individuos que tienen una propiedad o relación
Ejemplos:
MAYOR
(más(x, 1), x)
- CONSTANTES. Mantienen la propiedad de todo
elemento constante.
Ejemplos:
CASA, MARÍA
- SÍMBOLOS DE VARIABLES. Individuos que
pertenecen a un dominio no vacío o conjunto
Ejemplos:
x, y
En Cálculo de Predicados, nos referimos a términos
cuando hablamos de constantes, variables o símbolos de función, cuyos elementos
sabemos de antemano que son términos. Así, por ejemplo, la variable x y la
constante 1 son términos. Dado el símbolo de función más de dos argumentos, las
siguientes expresiones también son términos:
Más (x, 1)
más (más(x, 1 ,1)
más (más(x, 1 ,1)
El primero de ellos se refiere a la suma x +1,
mientras que el segundo a la suma de los términos correspondientes a x+1 con el
término 1.
Como para el caso del Cálculo de Proposiciones, se
usan también átomos en el Cálculo de Predicados, los cuales son enunciados
simples (es decir predicados), que están conformados con símbolos de
predicados, con varios términos como argumentos y que pueden ser evaluados como
V (verdaderos) o F (falsos), de manera que no pueden ser descompuestos en
proposiciones más simples. De esta manera las siguientes expresiones son
átomos:
MAMÍFERO(x)
MORTAL (LASSIE)
ES_TIO (JUAN, JOSE)
ES_NIETO (PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI)
MORTAL (LASSIE)
ES_TIO (JUAN, JOSE)
ES_NIETO (PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI)
Es decir, se puede definir término de la siguiente
manera:
Además se trata con formas proposicionales,
estructuras que aparecen como sentencias declarativas, pero que no tienen
valores definidos de verdad a causa de las variables individuales.
Ejemplo:
- 2+3=4 Es una proposición
- X+3=4 Es una forma proposicional,
ya que será proposición cuando x tome algún valor del dominio
Recibe el nombre de Cálculo de Predicados de Primer
Orden por tener cuantificadores sólo sobre el dominio de individuos.
NOTA:
El cálculo de predicado está formado por un
conjunto de predicados concatenados a través de operaciones lógicas.
Igualmente dentro del cálculo de Predicados se
utilizan las siguientes simbologías:
Е Existe: Para todo A
Ejemplo:
Sea el enunciado:
Todos los mamíferos son de sangre caliente.
Expresado usando la simbología del predicado
se tiene:
A Mamíferos (X) –> Sangre
caliente (X)
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